Le bal des tangentes - Sujet d'olympiades - Ameriques Antilles Guyane 2022 exercice 2

Soit  \(a\) un réel non nul, \(b\) , \(c\) et  \(d\) des réels. On considère la fonction \(f\) définie sur  \(\mathbf{R}\) par :
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)  pour tout  \(x\) réel.

On appelle  \(C_f\)  la courbe représentative de  \(f\) dans un repère orthonormé. La tangente à la courbe  \(C_f\) au point d’abscisse  \(\alpha\) est notée \(T_\alpha\) .

1. Si  \(x\) et  \(y\) sont des réels, montrer que \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) .

2. On suppose qu’il existe deux réels distincts  \(\alpha\) et  \(\beta\) tels que la droite  \(T_\alpha\) passe par le point de  \(C_f\) d’abscisse \(\beta\) .
Prouver que dans ce cas : \(a(2\alpha+\beta)+b=0\) .

3. Montrer qu’il n’existe pas trois réels distincts \(\alpha\) ,  \(\beta\) et  \(\gamma\) tels que les trois conditions suivantes soient réalisées :
La droite  \(T_\alpha\) passe par le point de  \(C_f\) d’abscisse \(\beta\) ,
La droite  \(T_\beta\) passe par le point de  \(C_f\) d’abscisse \(\gamma\) ,
La droite  \(T_\gamma\) passe par le point de  \(C_f\)  d’abscisse \(\alpha\) .

4. Soit  \(g\) la fonction définie sur  \(\mathbf{R}\) par :  \(g(x)=(x^2-1)^2\) .
On appelle  \(\) \(C_g\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Déterminer des réels \(x_1\) ,  \(x_2\) , \(x_3\) ,  \(x_4\)  tels que les conditions suivantes soient réalisées : 
La tangente à  \(C_g\) au point d’abscisse  \(x_1\)  passe par le point de  \(C_g\) d’abscisse \(x_2\) ,
La tangente à  \(C_g\) au point d’abscisse  \(x_2\)  passe par le point de  \(C_g\) d’abscisse \(x_3\) ,
La tangente à  \(C_g\) au point d’abscisse  \(x_3\)  passe par le point de  \(C_g\) d’abscisse \(x_4\) ,
La tangente à  \(C_g\) au point d’abscisse  \(x_4\)  passe par le point de  \(C_g\) d’abscisse \(x_1\) .